S1 =1 cm (dimensione iniziale)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...
Possiamo osservare un modello qui. La dimensione del guscio in ogni fase si ottiene aggiungendo 1/3 della dimensione della fase precedente.
In generale, la dimensione del guscio all'ennesima fase può essere espressa come:
Sn =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
Per determinare il numero di conchiglie che i capannoni del granchio (esclusi il guscio iniziale), dobbiamo trovare il valore di n per il quale Sn ≥ 10 cm.
10 cm ≤ Sn
10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
10 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(N-1)]
Possiamo riconoscere l'espressione all'interno delle parentesi come la somma di una serie geometrica con il primo termine 1 e il rapporto comune 1/3. La somma di una serie geometrica è data da:
Sum =A1 / (1 - R), dove A1 è il primo termine e R è il rapporto comune.
Collegamento a1 =1 e r =1/3, otteniamo:
Somma =1/(1 - 1/3) =3/2
Perciò,
10 cm ≤ S1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
Ciò implica che il granchio permetterà il suo guscio quando raggiunge una dimensione di circa 6,67 cm.
Per determinare il numero di conchiglie, dobbiamo trovare il valore di n in modo tale che SN ≥ 6,67 cm.
6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
6,67 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(N-1)]
Poiché la somma della serie geometrica è 3/2, abbiamo:
6,67 cm ≤ S1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
Ciò significa che il granchio permetterà il suo guscio una volta che le sue dimensioni superano 4,45 cm.
Ora dobbiamo determinare il numero di fasi o mossa il granchio che subisce prima che le sue dimensioni superano 4,45 cm.
A partire da S1 =1 cm, possiamo calcolare le fasi successive come segue:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Possiamo vedere che S4 è maggiore di 4,45 cm. Pertanto, il granchio permetterà il suo guscio durante la transizione dalla terza fase (S3) alla quarta fase (S4).
Pertanto, il granchio avrà versato 3 conchiglie (escluse il guscio iniziale) al momento della dimensione supera i 10 cm.